Lehre

Lehrveranstaltungen

Finite-Elemente-Methode

Die Finite-Elemente-Methode (FEM) ist das am weitesten verbreitete Verfahren zur numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen. Solche Gleichungen treten in den Ingenieurwissenschaften und in der mathematischen Modellierung auf. Das Anwendungsspektrum ist enorm; typische Anwendungen finden sich etwa in der Festkörper- und Strömungsmechanik, im Elektromagnetismus oder in der Biologie. Die Finite-Elemente-Methode basiert auf einer Variationsgleichung, für die wir zunächst die analytischen Grundlagen erarbeiten. Anschließend betrachten wir geeignete diskrete Unterräume (Finite-Elemente-Räume), in denen wir die Variationsgleichung lösen können. Daraus ergeben sich verschiedene Algorithmen, deren Fehleranalyse wir diskutieren. Ein weiterer Schwerpunkt liegt auf der Konstruktion eines zugehörigen Fehlerschätzers und seinem Einsatz in einer adaptiven Strategie. Die Lehrveranstaltung verfolgt zwei Ziele: – Vermittlung des variationellen Rahmens, auf dem die Finite-Elemente-Methode beruht, und Vertiefung der Kenntnisse in Numerischer Analysis. – Praktische Programmierung mit Matlab mit besonderem Augenmerk auf Effizienz und Korrektheit. Nach Abschluss der Lehrveranstaltung sind die Studierenden in der Lage, die Finite-Elemente-Methode für ein gegebenes Problem effizient und zuverlässig zu implementieren.

Scientific Computing

Durch die stetig wachsende Rechenleistung haben sich in den vergangenen Jahrzehnten die Möglichkeiten stark erweitert, komplexe Probleme aus Ingenieuranwendungen, Lebenswissenschaften, Umweltfragen, urbanen Systemen und der Finanzmathematik zu verstehen und zu lösen. Dies hat das Forschungsgebiet Scientific Computing entscheidend vorangebracht. Typische Aufgaben sind die Modellierung des jeweiligen Problems, die Entwicklung eines numerischen Approximationsverfahrens und die Implementierung der zugehörigen Algorithmen auf dem Computer.

In der Lehrveranstaltung Scientific Computing betrachten wir verschiedene reale Anwendungen, etwa die Bestimmung der Eigenfrequenzen einer Brücke oder des PageRanks einer Webseite. Wir modellieren diese Probleme und diskutieren und implementieren die jeweiligen Algorithmen zunächst in geeigneten vereinfachten Situationen. Da das Lösen linearer Gleichungssysteme in sehr vielen unterschiedlichen Zusammenhängen auftritt, beginnen wir mit diesem Thema. Viele Phänomene wie die Verformung von Strukturen, Wärmeleitung oder Strömungen lassen sich gut durch partielle Differentialgleichungen (PDEs) modellieren. Deshalb behandeln wir PDEs zunächst in einer einfachen eindimensionalen Situation, diskutieren Modellierungsaspekte und führen Sobolev-Räume ein. Da die Finite-Elemente-Methode das mit Abstand am häufigsten eingesetzte Verfahren zur Approximation von PDE-Lösungen ist, führen wir sie ebenfalls im eindimensionalen Fall ein und beweisen die Konvergenz der Approximation gegen die Lösung.

Große Eigenwertprobleme treten beispielsweise bei der Analyse sozialer Netzwerke oder bei der Bestimmung von Eigenfrequenzen großer Strukturen auf. Daher behandeln wir anschließend Eigenwertlöser für große Systeme. Als konkrete Anwendungen betrachten wir PageRank und die Finite-Elemente-Approximation der Helmholtz-Gleichung im Detail. Danach diskutieren wir Algorithmen aus der randomisierten numerischen linearen Algebra, die in der Analyse großer Datenmengen sehr verbreitet sind und auch in numerischen Simulationen zunehmend an Bedeutung gewinnen. Eine kurze Einführung in tiefe neuronale Netze mit Schwerpunkt auf randomisierten Verfahren zur Lösung von Optimierungsproblemen vermittelt grundlegende Kenntnisse über Deep Learning und seine vielfältigen Anwendungen. Zum Abschluss betrachten wir gemischt-ganzzahlige nichtlineare Optimierungsprobleme (MINLP), darunter linearisierungsbasierte Outer-Approximation-Verfahren und nichtlineares Branch-and-Bound sowie den praktischen Einsatz entsprechender Solver-Technologien.

Highlights & Veranstaltungen

CBL-Auszeichnung

Januar 2022

Ich freue mich sehr, im Rahmen der Ausschreibung zur Umsetzung von Challenge-Based Learning (CBL) an der University of Twente eine Förderung erhalten zu haben. Ziel ist es, die Einführung von CBL an der UT zu beschleunigen.